Нужно исследование функции, желательно подробно
y=x^3+6x^2+9x+4

1) D(y)=R( все действительные числа )

2)y(-x)=-x^3+6x^2-9x+4=-(x^3-6x^2+9x-4)≠ -y(x) ( проверяем какая функция: парная\непарная\непарная и не непарная )

3) x^3+6x^2+9x+4=0  - развязываем уравнение.

x=-1

Делем  функцию на x+1

x^3+6x^2+9x+4 | x+1

-

x^3+x^2                | x^2+5x+4

_______

0   +5x^2+9x          

-

      5x^2+5x

_____________

                 4x+4    

-                 4x+4

_________________

                      0

y= (x+1)(x^2+5x+4)

x=-1, x=-1,x=-4 - корни уровнения, где y=0

4)y'=3x^2+12x+9=0

x^2+4x+3=0 ( мы уже поделили на 3 все )

x=-1,x=-3

5) Находим где функция возростает, а где спадает, а так же находим точки максимума и минимума.

y'=3(x^2+4x+3)=0

x∈(-∞;-3) -  y' будет с плюсовым значением, а значит функция возростает.

↑              ↓                    ↑

____-3________-1________

       max               min

6) Подставляем точки максимума и минимума в функцию 'y'

y(-3)=-27+6*9-27+4=-54+54+4=4

y(-1)=0

7) Находим дополнительные точки:

y(0)=4

y(2)=8+6*4+9*4+4=8+24+36+4=60+12=72

y(-2)=-8+6*4-9*4+4=-8+24-36+4=28-8-36=-16

8) Находим точку перегиба(y'')

y''=6x+12

x=-2

y(-2)=-16

y''=6x+12=6(x+2)

Если x∈(-∞;-2), то функция бедет опуклая ВВЕРХ и если x∈(-2;+∞), то функция будет опуклая ВНИЗ

  -                    +

_______-2_______

∩                     ∪

9) Рисуем график.