Помогите прошу. Даю все баллы, что есть. Даны координаты точек . А( 1; -4; 1), В( 4; 4; 0), С( -1; 2; -4), М( -9; 7; 8).Найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хOz, уОz; 4) расстояние от точки М до плоскости Q.

Ответ:

1)30х-7у+36z-94=0

2)==

Пошаговое объяснение:

Даны координаты точек . А( 1; -4; 1), В( 4; 4; 0), С( -1; 2; -4), М( -9; 7; 8).

1) Уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С.

Это уравнение находим из выражения:

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Где: (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.

Подставив координаты точек, получаем:

-34x + 17y + 34z + 68 = 0.  Сократим на минус 17:

2x - 1y - 2z - 4 = 0.  

2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q.

Общее уравнение плоскости имеет вид:  Ax+By+Cz+D=0

где n(A=2,B=-1,C=-2)−это нормальный вектор плоскости АВС.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(x−x0)/l  = (y−y0)/m = (z−z0)/n.   Подставим данные и получаем ответ:

ММ1 = (x+9)/2  = (y−7)/(-1) = (z−8)/(-2).  

3) Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хOz, уОz.

Составим параметрическое уравнение прямой:

t = (x + 9)/2,  t = (y − 7)/(−1),  t =  (z −  8)/(−2).

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

x =  2·t  − 9 ,  y = −1·t +  7 ,  z = −2·t + 8.

  Подставим в уравнение плоскости АВС:

2(2t-9) - 1(-1t+7) - 2(-2t+8) - 4 = 0.

4t - 18 + t - 7 + 4t - 16 - 4 = 0.

9t = 45.    t = 45/9 = 5.

Подставим значение t в параметрические уравнения ММ1:

x =  2·5  − 9 = 1 ,  y = −1·5 +  7 = 2 ,  z = −2·5 + 8 = -2.  

М1 = (1; 2; -2).  Это точка пересечения полученной прямой с плоскостью Q.

Точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями:

хОу (z = 0):  0 = −2·t + 8,   t = 8/2 = 4.

x =  2·4  − 9 = -1 ,  y = −1·4 +  7 = 3 ,  z = 0.  

М2 = (-1; 3; 0).

хOz (y = 0),  0 = −1·t +  7.  t = 7.

x =  2·7  − 9 = 5 ,  y = −1·7 +  7 = 0 ,  z = −2·7 + 8 = -6.  

М3 = (5; 0; -6).

уОz (x = 0),   0 =  2·t  − 9,   t = 9/2.

x = 0,  y = −1·(9/2) +  7 = 5/2 ,  z = −2·(9/2) + 8 = -1.  

М4 = (0; (5/2); -1).

4) расстояние от точки М до плоскости Q.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Используем формулу: d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| √(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |2·(-9) + (-1)·7 + (-2)·8 + (-4)| /√(2² + (-1)² + (-2)²)  =   |-18 - 7 - 16 - 4| /√(4 + 1 + 4)  =     45/ √9  = 15.

Ответ: |ММ1| = 15.