Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую (x-2)/5 = (y-3)/1 = (z+1)/2 перпендикулярно плоскости x+4y-3z+7=0

Даны прямая Р: (x-2)/5 = (y-3)/1 = (z+1)/2 и плоскость α: x+4y-3z+7=0.

На их основе определяем:

- направляющий вектор прямой Р равен р = (5; 1; 2),

- нормальный вектор плоскости равен n = (1; 4; -3).

Теперь находим координаты нормального вектора N искомой плоскости β как векторное произведение векторов р и n.

x     y     z     x      y

5     1      2     5     1

1      4    -3      1      4 =

= x*1*(-3) + y*2*1 + z*5*4 - y *5*(-3) - x*2*4 - z*1*1 =

= -3x + 2y + 20z + 15y - 8x - 1z = -11x + 17y + 19z.   N = (-11; 17; 19).

На прямой Р по её уравнению определяем точку М1(2; 3;  -1).

Уравнение плоскости, проходящей через точку М1

(2, 3, -1)   и имеющей нормальный вектор N = (-11; 17; 19) имеет вид:

-11(x - 2) + 17(y - 3) + 19(z + 1) = 0.  Раскроем скобки и приведём подобные:

β = -11x + 17y + 19z - 10 = 0. Можно с положительным коэффициентом при х:  β = 11x - 17y - 19z + 10 = 0.