Как решить график функции
Y=x^3+x^2-6x

Відповідь:

Покрокове пояснення:

y=x^3+x^2-6x

1. D(y)=R( все числа )

2. y(-x)=-x^3+x^2+6x=-(x^3-x^2-6x)≠-y(x) - функция ни парная, ни не парная.

3. y=0

y=x(x^2+x-6)

x(x^2+x-6)=0

x=0

D=1^2-4*1(-6)=1+24=25, √D=+-5

4. y'=3x^2+2x-6=0

3x^2+2x-6=0

D=2^2-4*(-6)*3=4+72=76=4*19

√D=+-2√19

x1,x2 - точки екстремума.

5. Ищем точки минимума и максимума

3x^2+2x-6=3(x-0.55)(x+0.89)

x∈(-∞;-0.89)  - функция возростает

x∈(-0.89;0.55) - функция спадает

x∈(0.55;+∞) - функция возростает.

         ↑         ↓          ↓       ↑

+                          -                   +

______-0.89______0.55_______

            max                min

6. Подставляем точки екстемума в функцию "y":

y(-0.89)=(-0.89)^3+0.89^2-6(-0.89)=~5,42

y(0.55)=(0.55)^3+0.55^2-6(0.55)=~−2,83

7. Ищем еще какие-то точки.

y(1)=1^3+1^2-6*1=-4

y(-1)=-1+1+6=6

y(2)=8+4-12=0

y(-2)=-8+4+12=8

8. Ищем точки перегиба

y''=(3x^2+2x-6)'=6x+2=2(3x+1)

6x+2=0|:2

3x+1=0

x=-1/3

Так как y''<0 при x<-1/3, то функция на этом промежутке( -∞;-1/3) будет выпуклая, а если y''>0 при x>-1/3, то функция будет ввогнутая на даном промежетке( -1/3;+∞)

   -              +

_____-1/3______

   ∩               ∪

y(-1/3)= −1,92

И что рисовать?

X |  0 |  2 |  -3| -0.89  |  0.55  |   1   |   -1 | -2

________________________________________

Y |  0  |  0 |  0|  5,42  | −2,83 |   -4  |   6 | 8

9. Рисуем функцию по даным точкам