Исследуйте функцию f(x) и постройте её график: f(x)=2x^2+8x+3

Дано: Y= 2*x² + 8*x+3.

Провести исследование.

1. Описание: Квадратичная парабола,

2. Непрерывная, гладкая. Вертикальных асимптот - нет.

3. Область определения: D(x)=R. X∈(-∞;+∞).

4. Пересечение с осью ОХ  -нули функции.  Решаем квадратное уравнение. D=40, √40 ≈ 6.325.

X1 = - 3.58,  X2 = - 0.42

5. Интервалы знакопостоянства.  Парабола положительная, ветви вверх, отрицательна между корней. Непрерывная - квадратные скобки.

Положительна Y>0 при Х∈(-∞;x1]∪[x2;+∞). Y(-∞) = Y(+∞) = + ∞.

Отрицательна Y<0 при Х∈[x1;x2].

6. Пересечение с осью ОУ.   Y(0) = 3.

7. Проверка на чётность.

Важно: у чётных функций ВСЕ члены с чётными степенями, у нечётных -ВСЕ с нечётными. Здесь и вторая и первая степени.

Y(-x) ≠ -Y(x). Y(-x)≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная.

8.  Поиск экстремумов по первой производной.

Y'(x) = 4*x + 8 = 4*(x+2) = 0

x3 = - 2 - одна точка экстремума.

9. Локальный экстремум.  Y(x3) = Y(-2) = -5 - минимум.

10. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;-2]. Возрастает: Х∈[2;+∞)

11. Поиск точек перегиба по второй производной.

Y"(x) =  4 ≠0. Корней -нет, точек перегиба - нет.

12. Вогнутая - "ложка" во всем D(x).  X∈(-∞;+∞)  

13. График функции - на рисунке в приложении.