В прямоугольной системе координат дана точка (1.2). Найти проходящую через эту точку прямую, которая бы образовывала с положительным направлением координат треугольник наименьшей площади.

Ответ:

прямая на оси Ох отсекает отрезок в 4 единицы, а на оси Оу -- в 6 единиц.

Пошаговое объяснение:

Пусть прямая, проходящая через точку М, пересекает ось Ох в точке А (х; 0) , а ось Оу в точке В (0;у) . Из точки М

опустим перпендикуляр МС на ось Ох . Треугольники АМС и АВО подобны. Из пропорции (х-2)/x =3/у, получим

у = 3х/(х-2). Площадь треугольника АОВ функция от х: S(х) = 1.5 х^/(x-2) , где х>2.

Из критических точек этой функции условию х>2 удовлетворяет х=4. На интервале (2;4) производная отрицательна, а на интервале (4;бесконечность) -- положительна. Значит при х=4 площадь треугольника АВО

будет наименьшей. При этом у=6.