y=x^3-3x^2+2x-7
1.Обл. определения
2.Четность,нечетность
3.Пересечение графика с осями
(х=0 и вычислить y;
y=0 и решить уравнение f(x)=0
4.Непрерывность
5. Производная функции и критические точки
6.Промежутки монотонности
7.Экстремумы
8.Асимптоты графика(верт-я гор-я)
9.Доп точки

Дано: y(x) = x³ - 3*x² + 2*x + 7

Исследование.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.   X₃ = 3.0687.  Действительный корень без расчета. Два других -Х₁ и Х₂ - мнимые корни

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Х∈(-∞;3.07]. Положительна: Х∈[3.07;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =  -7

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -6*x + 2 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=0,42   Х5=1,58

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=0,42) =-6,62.   Минимум Ymin(X5=1,58) =-7,38

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;0,42;]U[1,58;+∞) , убывает - Х∈[0,42;1,58]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6*x -6 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=1

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=1]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=1; +∞).

11. График в приложении.  Рядом - шаблон для описания поведения.

12. Асимптот - нет.