y=4+3x^2-x^3 исследовать функцию

Ответ:

Решение:  

y=4/(x²+2x-3)  

1) область определения: D(y) x≠1 и х≠-3  

2)Провери является ли функция четной или нечетной:  

y(x) =4/(x²+2x-3)  

y(-x)=4/((-x)²-2x-3)=4/(x²-2x-3  

так как у (-х) ≠-у (х) и у (х) ≠у (-х) , то функция не является ни четной ни не четной.  

3) Найдем точки пересечения с осями координат:  

а) у=0; 4/(x²+2x+2)=0  

уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекает ось абсцисс  

б) х=0; у=-4/3, график пересекает ось ординат в точке (0;-4/3)  

4) Найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума:  

y'= (-8x-8)/(x²'+2x-3)²; y'=0  

(-8x-8)/(x²'+2x-3)²=0  

-8x-8=0  

x=-1  

Так как на промежутках (-∞;-3) (-3;-1) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастает.  

Так как на промежутках (-1;1) (1;∞ )y'< 0, то на этих промежутках функция убывает.  

Точка х=-1 являетмя максимума функции:  

у (-1)=4/(1-2-3)=-1  

5) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости:  

y"=(-8(x²+2x-3)²-2(x²+2x-3)(2x+2)(-8x-8))/(x²+2x-3)^4= (8(3x²+6x+7))/(x²+2x-3)³; y"=0  

(8(3x²+6x+7))/(x²+2x-3)³=0  

3x²+6x+7=0  

Уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.  

Так как на промежутке (-3;1) y"< 0, то на этом промежутке график направлен выпуклостью вверх.  

Так как на промежутках (-∞-3) (1; ∞) y">0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз.  

6) Найдем асимптоты:  

а) вертикальные.  

Найдем односторонние пределы в точке разрыва:  

lim (при х->-3-0) (4/(x²+2x-3))=∞  

lim (при х->-3+0) (4/(x²+2x-3)=-∞  

lim (при х->1-0) (4/(x²+2x-3))=-∞  

lim (при х->1+0) (4/(x²+2x-3)=∞  

Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые х=-3 и х=1 являются вертикальными асиптотами.  

б) наклонные y=kx+b  

k=lim (при х->∞) (y(x)/x)=lim (при х->∞) (4(х (x²+2x-3))=0  

b=lim (при х->∞) (y(x)-kx)=lim (при х->∞) (4/(x²+2x-3)=0  

Итак прямая у=0 является горизантольной асимптотой.  

Пошаговое объяснение: