Найдите проекцию точки P(4;5) на прямую, проходящую через точки A(3;-2) и B(6;-1).

Дана точка P(4;5) и прямая, проходящая через точки A(3;-2) и B(6;-1).

Её уравнение (х - 3)/3 = (у + 2)/1.                                               (1)

Уравнение прямой, проходящей через точку Р(x0, y0) и имеющий нормальный вектор n=(A, B) представляется формулой:

A(x−x0)+B(y−y0)=0                                                                       (2)

Направляющий вектор прямой (1) имеет следующие координаты:

q=(m, n)=(3, 1).                                                                               (3)

Для того, чтобы прямая (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n прямой (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора прямой (2) можно взять вектор q. Подставим координаты вектора q и координаты точки Р в (2):

3(x − 4) + 1(y − 5) = 0.

После упрощения получим уравнение прямой, проходящей через точку Р и перпендикулярной прямой L:

3 x +  y − 17 = 0.                                                                           (4)

Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).

Составим параметрическое уравнение прямой:

t=(x − 3)/3,  

t= (y + 2)/1.

Выразим переменные x, y через параметр t :

x = 3·t + 3 ,  y = t − 2.                                                    (5)

Подставим значения x,y,z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.

3(3t + 3) + 1(t − 2) − 17  =  0.

9t + t + 9 − 2 − 17 = 0.

t=1.

Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки M:

x = 6  ,    y = −1 .

Ответ:

Проекцией точки Р(4, 5) на прямую (1) является точка:

M(6, −1  ).