определелить для данной функции её основные свойства
применить свойства функции в построение графика
определить точки экстремума,асимптоты,точки перегиба
помтроить график используя свойства функции
ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА .

ДАНО: Y = (x²+4)/x.

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения: D(y)= X≠ 0 , X∈(-∞;0)∪(0;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2. Разрыв II-го рода при Х = 0. Вертикальных асимптота  - Х =0.  

3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= +∞ - горизонтальной асимптоты - нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.

x² = - 4. Корней нет.

5. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0).

Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.

Функция ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).  

7. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 1 - 4/x² = 0.  x² = 4,  x = ±2 - точки экстремумов.

8. Локальный максимум: y(-2) = -4, минимум: y(2) = +4.

9. Интервалы монотонности.  

Возрастает - X∈(-∞;-2)∪(2;+∞).  Убывает: X∈(-2;0)∪(0;2).

10. Поиск перегибов по второй производной.  

y"(x) = 8/x³ = 0

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.    

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(0;+∞;), выпуклая - "горка"  X∈(-∞;0);  

12. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞) Y(х)/x = (x²+4)/x² = 1 - наклон.  y = x - асимптота.

13. Область значений. E(y) = (-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.