докажите что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми

От противного.

Пусть у них есть не равный 1 общий делитель. Тогда разность этих чисел должна делиться на этот самый не равный 1 общий делитель. Но разность двух соседних чисел равна 1 и делится только на 1.

Полученое противоречие говорит о том, что наше предположение неверно и что наибольший общий делитель двух соседних натуральных чисел равен 1, то есть они взаимно просты.