• Даны четыре точки А1 (6, 1, 1), А2 (4, 6, 6), А3 (4, 2, 0) и А4 (1, 2, 6).
    Составить уравнение:
    а) Плоскости А1, А2, А3;
    б) Прямой А1, А2;
    в) Прямой А4, М, перпендикулярной к плоскости А1, А2, А3;
    г) Прямой А4, N, параллельной прямой А1, А2.
    Вычислить:
    д) Синус угла между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3;
    ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1, А2, А3.

Ответы 1

  • Даны четыре точки А1 (6, 1, 1), А2 (4, 6, 6), А3 (4, 2, 0) и А4 (1, 2, 6).

    а) Уравнение плоскости А1, А2, А3 находим на основе смешанного произведения векторов.

    x-6     y-1      z-1       x-6     y-1              x-6     y-1      z-1       x-6     y-1

    4-6     6-1     6-1      4-6       6-1             -2        5        5        -2       5

    4-6    2-1     0-1      4-6       2-1 =           -2         1        -1         -2       1 =

    = (x - 6)*((-5) -5) + (y - 1)*(-10-2) + (z - 1)*(-2 + 10) =

    = -10x - 12y + 8z + 64 = 0.  Сократим на -2:

    Уравнение плоскости А1А2А3 равно 5x + 6y - 4z - 32 = 0.

    б) Уравнение прямой А1, А2: (x - 6)/(-2) = (y - 1)/5 = (z - 1)/5.

    в) Прямой А4, М, перпендикулярной к плоскости А1, А2, А3.

    Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4) - это направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

    Получаем уравнение прямой А4М: (x -1)/5 = (y - 2)/6 = (z - 6)/(-4).

    г) Прямой А4, N, параллельной прямой А1, А2.

    Вычислить:

    д) Синус угла между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3.

    Вектор А1А4:(-5; 1; 5), его модуль равен  √(25+1+25) = √51.

    Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √(25+36+16) = √77. Скалярное произведение равно -25+6-20 = -39.

    sin fi = |-39|/(√51*√77)=  0,62234923  

    fi = 0,67174 радиан,  38,4879 градус.

    ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1, А2, А3.

    Нормальный вектор координатной плоскости Оxy равен (0; 0; 1), его модуль равен 1. Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √77.

    cos a = |0*5+0*6+1*(-4)|/(1*√77) = 4/√77 ≈ 0,455842.

    • Автор:

      socksgpmc
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years