5x^2+9y^2-30x+18y+9=0

Какую кривую определяет данное уравнение?
Найти её центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Выделяем полные квадраты:  

для x:  5(x²-2*3x + 3²) -5*3² = 5(x-3)²-45,  

для y:  9(y²+2*1y + 1) -9*1 = 9(y+1)²-9.  

В итоге получаем:  5(x-3)² + 9(y+1)² = 45  

Разделим все выражение на 45 :  ((x-3)²/9) +((y+1)²/5) = 1.

Параметры кривой - это эллипс, его полуоси a = 3 и b = √5.  

Центр эллипса в точке:  C(3; -1)  

Координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами : F1(-2;0), F2(2;0).  с = √(9 - 5) = +-√4 = +-2.

С учетом центра, координаты фокусов равны:

F1((-2+3)=1;-1), F2((2+3)=5;-1).  

Эксцентриситет равен:  е = с/а = 2/3.

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.