Помогите пожалуйста решить задачу Коши: y'''+2y''-15y'=0 , y(0)=0, y'(0)=3, y''(0)=5

Помогите пожалуйста решить задачу Коши: y'''+2y''-15y'=0 , y(0)=0, y'(0)=3, y''(0)=5
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  big guybtym
- 5 лет назад

Ответы 1

Ответ:
$y=-11/15-0.1*e^{-5x} +5/6*e^{3x}$
Пошаговое объяснение:
1) Составим характеристическое уравнение (степень производной соответствует степени k):
$k^{3} +2k^{2} -15k=k(k^{2}+2k-15)=k(k+5)(k-3)=0$
Корни характеристического уравнения:
k1=0, k2=-5, k3=3.
Общее решение уравнения:
$y=C1*e^{0x} +C2*e^{-5x} +C3*e^{3x}=C1+C2*e^{-5x}+C3*e^{3x}$
2) Ищем решение, учитывая задачу Коши:
$y(0)=0=C1+C2+C3\\y'=-5*C2*e^{-5x} +3*C3*e^{3x} , y'(0)=3=-5*C2+3C3\\y''=25*C2*e^{-5x} +9*C3*e^{3x} , y''(0)=5=25*C2+9*C3$
Решаем систему с неизвестными C1, C2, C3 любым удобным способом. Например, методом Крамера:
C1+C2+C3=0,
-5C2+3C3=3,
25C2+9C3=5;
$det\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-5&3\\0&25&9\end{array}ight] =det\left[\begin{array}{ccc}-5&3\\25&9\end{array}ight] =-45-75=-120$
$det1\left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\3&-5&3\\5&25&9\end{array}ight] =88\\C1=-88/120=-11/15$
$det2\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&3\\0&5&9\end{array}ight] =12,\\C2=-12/120=-0.1$
$det3\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&-5&3\\0&25&5\end{array}ight] =-100,\\C3=-100/-120=5/6$
Подставляем найденные константы в общее решение уравнения:
$y=-11/15-0.1*e^{-5x} +5/6*e^{3x}$
- Автор:
  chubszfua
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ