На катете B C прямоугольного треугольника A B C ( ∠ B C A = 90 ° ) выбраны точки M и N так, что ∠ C A M = ∠ M A N = ∠ N A B . Прямая, проходящая через точку M , пересекает отрезки A N и A B в точках E и F соответственно. Найдите A B , если A E = 7,5 , ∠ A M N = 110 ° , ∠ B F M = 110 ° .

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим  ΔМАE. По условию задачи ∠ АМN=110° .

Значит ∠AМC=180-110=70° (т.к. развернутый угол = 180°).

Т.к. сумма углов Δ=180°, найдем ∠CAМ =180-90-70=20°.

По условию задачи  ∠MAN=∠NAB =∠CAМ=20°.  

Рассмотрим ∠ EAF.

По условию задачи ∠ BFM=110°. Значит ∠EFA = 180-110=70°. Т. к ∠EAF=20°, то  ∠АЕF= 180-70-20=90°. Отсюда следует, что и угол ∠ АЕМ=90°.

Получается, что мы имеем два прямоугольных треугольника ΔАСМ и ΔЕАМ. У этих треугольников равны все три угла и общая гипотенуза:

∠АСМ=∠AЕМ=90°

∠МАС=∠ЕАМ=20°

∠АМС=∠АМЕ=70°

АМ-общая гипотенуза. Значит эти треугольники равны между собой по катету и строму углу. Отсюда следует, что катеты АС=АЕ= 7,5.

Теперь рассмотрим ΔАВС.

∠ АСВ=90°

∠САВ=∠САМ+∠МАN+∠МАF=20+20+20=60°.

Значит ∠ АВС=180-60-90=30°.

Мы нашли, что в  ΔАВС катет АС=7,5. Зная, что против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, найдем гипотенузу АВ: 7,5*2=15.

Ответ: АВ=15.