Из некоторого натурального числа вычли сумму его цифр. Сколько чисел от 1 до 2019 могло получиться? Прошу поскорее! Будьте классными человеками!

Ответ:

первым могло быть число 108.

Пошаговое объяснение:

Раз речь идёт о ряде вычитаний суммы цифр, то исходное число должно быть как минимум двузначным. Любое двузначное число можно представить в виде 10a + b, где a - количество десятков, b - количество единиц. Тогда уравнение 11-го вычитания можно записать так:

10a + b - (a + b) = 0

10a + b - a - b = 0

9a = 0

a = 0.

Т.е. получается, что 11-е вычитание происходило над числом, количество десятков которого было равно нулю, а количество единиц (b) - любое. Т.е. число это - однозначное, от 0 до 9.

Коэффициент 9 рядом с a получился неспроста. Закономерность такова, что при вычитании из любого двузначного числа суммы его цифр в результате получится число, кратное девяти.

Значит, исходить будем из того, что 10-е вычитание дало девять. Тогда формула 10-го вычитания будет такой:

10a + b - a - b = 9

9a = 9,

a = 1

Т.е., число 10-го вычитания - от 10 до 19.

Если это число от 11 до 17, либо 19, то следующее число мы найти не сможем (например, если 9a = 11, то a = 11/9).

Таким образом, получаем ряд чисел, кратных 9-ти:

(11) 9 - 9 = 0

(10) 18 - 1 - 8 = 9

(09) 27 - 2 - 7 = 18

(08) 36 - 3 - 6 = 27

(07) 45 - 4 - 5 = 36

(06) 54 - 5 - 4 = 45

(05) 63 - 6 - 3 = 54

(04) 72 - 7 - 2 = 63

(03) 81 - 8 - 1 = 72

(02) 99 - 9 - 9 = 81

(01) 108 - 1 - 8 = 99