Найти все x y z если
[tex]x + y + z = 2019 \\ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {6057}^{2} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2019} [/tex]

будем использовать теорему Виета для кубических уравнений

если имеется ax³ + bx² + cx + d = 0

и имеются корни x₁ x₂ x₃ то

x₁+x₂+x₃ = -b/a

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a

x₁x₂x₃ = - d/a

и второе 6057² = 2019² + 4038² + (-4038)²

и наконец заметим, что решения зеркальны относительно переменных x y z и если корнем x=a, то и y и z тоже будут равны a то есть решения будут тройными (a y₁ z₁) (x₂ a z₂) (x₃ y₃ a)

первое уравнение так левая и правая части положительны возводим в квадрат

(x + y + z)² = (x+y)² + 2z(x+y) + z² = x² + 2xy + y² + 2yz + 2xz + z² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = 2019²

подставляем значение x² + y² + z² = 6057²

6057² - 2019² = - 2(xy+xz+yz)

(6057 - 2019)(6057 + 2019) = 4038*2*4038 = -2(xy+xz+yz)

xy + xz + yz = - 4038²

третье уравнение смотрим

1/x + 1/y + 1/z = 1/2019

(yz + xz + xy) /xyz = 1/2019

xyz = -2019*4038²

x+y+z=2019

имеем все для соcтавления уравнения третьей степени по обратной теореме Виета

x³ - 2109x² - 4038²x + 2019*4038² = 0

x²(x - 2019) - 4038²(x-2019) =0

(x² - 4038²)(x-2019) = 0

(x - 4038)(x+4038)(x-2019)=0

это корни x y z

Итак понеслась пишем корни x y z

(2019, 4038, -4038) (2019, - 4038, 4038)

(4038, 2019, - 4038) ( 4038, - 4038, 2019)

(-4038, 2019, 4038) (-4038, 4038, 2019)

========================

понравилось решение ставь лучший и лайк }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}