Докажите, что для любого натурального p существует такое натуральное q, большее 1, что [tex]\sqrt{q * \sqrt{q * \sqrt{q * ...} } }[/tex] (всего p радикалов) является натуральным числом.

найдем закономерность

√q = q^1/2 = q^(2^1-1)/2^1

√(q√q) = √(q*q^1/2) = √q^3/2 = q^3/4 = q^(2^2-1)/2^2

√(q√(q√q)) = √(q√(q*q^1/2)) = √(q*q^3/4) = √q^7/4 = q^7/8 = q^(2^3-1)/2^3

√q√q√q.....(p радикалов) = q^(2^p-1)/2^p = q^(1-1/2^p)

Итак если q=(2)^(2^p) то (2)^(2^p)*(2^p-1)/(2^p) = 2^(2^p-1)

q - натуральное > 1 p-натуральное