Исследовать и построить график функции. Полностью с решением: y=3-3x+x^3

Дано: y = x³ - 3*x + 3

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Y(x)=0 Нуль функции Х1 = - 2,1038 - (без комментариев).

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная: Y<0 - X∈(-∞;X1], положительная: X∈[X1;+∞)

Функция непрерывная - скобки при Х -  квадратные!!!

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   3

5. Исследование на чётность.  

Важно!!! У нечётных - только нечётные степени, у чётных -  только чётные. Здесь имеем - 3, 1, 0.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) не нечётная,

 Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -3 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=-1   Х5=1

Производная - положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=-1) =5.   Минимум Ymin(X5=1) =1

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-1;]U[1;+∞) , убывает - Х∈[-1;1]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= 0

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=0; +∞).

11. График в приложении.  Дополнительно график-шаблон для описания функции.