y=36x-3x2-2x3
Исследовать на максимкм и минимум с помощю 2 производных

Дана функция у＝-2x³-3x²+36x.

Производная равна: y' = -6x² - 6x + 36 = -6(x² - х + 6).

Приравняем её нулю: -6(x² + х - 6) = 0 (множитель в скобках).

x² + х - 6 = 0.  Д = 1 + 24 = 25. x1,2 = (-1+-5)/2 = 2; -3.

У функции 2 критические точки: (2; 44) и (-3; -81).

Находим знаки производной на полученных промежутках.

x = -4 -3 0 2 3

y' = -36 0 36 0 -36 .

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Минимум функции в точке х = -3,  у = -81.

Максимум в точке х = 2,  у = 44.

Возрастает на промежутке (-3; 2).

Убывает на промежутках (-∞; -3) и (2; +∞).

ДАНО:Y(x) = -2*x³ -3*x² + 36*x

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x--5,06)*x*(x-3,56)

Нули функции: Х₁ =-5,06, Х₂ =0,  Х₃ =3,56

3. Интервалы знакопостоянства.

Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;-5,06]U[0;3,56]  

Отрицательная - Y(x)<0 X∈[-5,06;0]U[3,56;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   0

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  -6*x²  -6*x + 36 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=2   Х5=-3

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=2) =44.   Минимум Ymin(X5=-3) =-81

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает Х∈(-∞;2;]U[-3;+∞) ,возрастает - Х∈[2;-3]

9. Вторая производная - Y"(x) = -12* x -6 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= -0,5

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=-0,5]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=-0,5; +∞).

11. График в приложении.

Дополнительно: шаблон для описания кубической функции.