В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S и основанием ABCD, длина стороны основания равна 2, а длина бокового ребра равна 5. Найти угол между прямой AC и плоскостью ASD

Вот решение

Пошаговое объяснение:

Решение.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

O –  начало   координат.  

Оси направлены по диагоналям квадрата основания и по высоте пирамиды.

1) SABCD – правильная пирамида  □(⇒┴ ) ABCD – квадрат, AC   BD,  

AD2 = AO2 + AO2,  

2AO2 = 4,       AO2 = 2,

AO = √2,  AO = OD  =  √2.

Угол между прямой AC и плоскостью ASD, значит, определим координаты следующих точек:

A(√2;0;0) , C(-√2;0;0) □(⇒┴ )  (AC) ⃗{-2√2;0;0}.      

2) Для уравнения плоскости ASD найдём SO:

SO   (ABC) □(⇒┴ )  SO   AO =  SO2 = AS2 – AO2,

SO = √(25-2)=√23  □(⇒┴ )  

S(0;0; √23 ), A(√2;0;0) , D(0; √2;0).

полагая d = -√2 , получим: a = 1, b = 1, c = √2/√23=√46/23 .

Получим уравнение плоскости: x + y +√46/23 z - √2  = 0, □(⇒┴ )  n ⃗ {1;1;√46/23} .  

|((AC) ⃗*n ⃗ ) |=|-2√2+0+0|=2√(2.)

|(AC) ⃗ |=√8=2√(2;)

|n ⃗ |=√(1+1+46/23)=√(2+2/23)=√(48/23)

sinα=√69/12,α=arcsin √69/12.

Ответ: α=arcsin √69/12  .

Эту задачу можно решить геометрическим способом.

Для этого надо спроецировать отрезок АС на плоскость ASD.

Получим равнобедренный треугольник АКС, где АК и КС - высоты к ребру SD.

Находим высоту грани ASD из точки А.

Сначала определим апофему А (высота из точки S).

А = √(5² - (2/2)²) = √24 = 2√6.

Тогда АК = СК = (2*2√6)/5 = 4√6/5.

Ответ получаем по теореме косинусов.

cos A = ((4√6/5)² + (2√2)² - (4√6/5)²)/(2*(4√6/5)*(2√2)) = 40/( 32√3) ≈ 0,721687836.

Угол А равен 0,764559  радиан или 43,805992 градуса.