Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.

Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  jeterp3de
- 5 лет назад

Ответы 3

хотя я сглупил, это неправильно
- Автор:
  fun dip
- 5 лет назад
- 0
а хотя нет, вроде правильно... Но все же вычисления и прочее лучше сами проверьте
- Автор:
  austin668
- 5 лет назад
- 0
Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством
Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность
$\{ x,y,x \cdot e^y\}$
Точке (1,4) соответствует $z=e^4$ , т.е. точка $(1,4,e^4)$ (*)
Линию $xy=4$ удобнее записать как трехмерную кривую $\{ x,y(x),e^4\}$ , что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1
Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке $(1,4,e^4)$ , в качестве параметра берем переменную x
$\{x,4-4(x-1),e^4\}$ (#)
(вычисляется по аналогии с $\overset{ightharpoonup }{r}(t)-\overset{ightharpoonup }{r}(t_0)=\frac{d}{dt} \overset{ightharpoonup }{r}(t_0) \cdot (t-t_0)$ )
В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.
Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:
Пусть x=0, тогда из (#) получим точку $(0,8,e^4)$
Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид
$\overset{ightharpoonup }{n} = \{-1,4,0\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} }$
Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как
$\overset{ightharpoonup }{n} = \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} }$
И, наконец, найдем искомую производную:
$grad[z(M_0)]\cdot\overset{ightharpoonup }{n}=\left\{e^4,1 \cdot e^4ight\} \cdot \{-1,4\}\cdot\frac{1}{\sqrt{17} } = \frac{3 e^4}{\sqrt{17}} \approx 39.726$
- Автор:
  brittany50
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ