1) f(x)=x3+3x2
Дослідити дану функцію та побудувати графік

Пошаговое объяснение:

ДАНО:Y(x) = x³ + 3*x²

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x--3)*x²

Нули функции: Х₁ =-3, Х₂ =0,  Х₃ =0

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3].  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-3;0]U[0;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   0

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² + 6*x = 3*x*(x + 2) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4= -2   Х5=0

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=-2) =4.   Минимум Ymin(X5=0) =0

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-2;]U[0;+∞) , убывает - Х∈[-2;0]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x + 6 = 6*(x+1) = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= -1

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆= -1]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆= -1; +∞).

11. График в приложении.