(1-x)dx-ydy=0
(x+1)dx+e^(y)×dy=0​

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Диф. уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными  

(1 + x)ydy - (1 + y)xdx = 0  

(1 + x)ydy = (1 + y)xdx  

ydy/(1 + y) = xdx/(1 + x)  

Интегрируем обе части уравнения  

∫ydy/(1 + y) = ∫xdx/(1 + x)  

Решим один из интегралов – второй аналогичный. Проинтегрируем по частям.  

∫xdx/(1 + x)  

Введем замену  

u = x, тогда du = dx  

dv = dx/(1 + x), тогда v = ln|1 + x|  

∫u*dv = u*v - ∫ v*du  

∫xdx/(1 + x) = x*ln|1 + x| - ∫ln|1 + x|*dx = x*ln|1 + x| - (x + 1)*ln|1 + x| + (x + 1) + C = ln|1 + x| + (x + 1) + C  

Получаем решение  

ln|1 + у| + (у + 1) = ln|1 + x| + (x + 1) + C  

2) Линейное однородное уравнение второго порядка  

Характеристическое уравнение  

r^2 – 3r = 0  

r1 = 0; r2 = 3 – корни действительные и различные  

Общее решение дифференциального уравнения  

у0 = С1 + С2е^(3x)  

Частное решение найдем из заданных начальных условий  

y(0) = 1 y '(0) = -1  

y(0) = С1 + С2 = 1  

y '(0) = 3С2 = -1  

С2 = -1/3  

С1 = 4/3  

Частное решение  

у = 4/3 - (1/3)*е^(3x)