Провести полное исследование и построить график функции:


f(x)=-(x-2)^2-3

ДАНО:Y(x) = -x² + 4*x -7 - раскрыли скобки.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D= -12.

Нули функции - нет

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Х∈(-∞;+∞) - во всем интервале определения.

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   - 7.

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида..  

6. Первая производная.    Y'(x) = -2*x + 4 = -2*(х-2) = 0

Корень производной: х = 2

7. Локальный экстремум.  

Ymax(2) = - 3.

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает: Х∈(-∞;2], убывает: Х∈[2;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x) = -2.

10. Выпуклая во всём интервале определения.

11. Вертикальных асимптот -  нет - нет разрывов.

12. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞)Y(x)/x = ∞ - наклонных (горизонтальных) нет.

13. Периода -  нет -  не тригонометрическая.

14. График в приложении.