tgx,если 5sinx+13cosx=6

Решить уравнение 5sin x + 13cos x = 6

Переходим к половинному углу x/2:

5sin(x/2) * cos(x/2) + 13cos2(x/2) - 13sin2(x/2) = 6sin2(x/2) + 6cos2(x/2)

Переносим все вправо:

19sin²(x/2) – 5sin(x/2) * cos(x/2) - 7cos²(x/2) = 0

Делим на cos²(x/2):

19tg²(x/2) – 5tg(x/2) - 7 = 0.   Замена tg(x/2) = t.

Получаем квадратное уравнение 19t² – 5t – 7 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:  

Ищем дискриминант:

D=(-5)^2-4*19*(-7)=25-4*19*(-7)=25-76*(-7)=25-(-76*7)=25-(-532)=25+532=557;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t1=(√557-(-5))/(2*19)=(√557+5)/(2*19)=(√557+5)/38 ≈ 0.752654;

t2=(-√557-(-5))/(2*19)=(-√557+5)/(2*19)=(-√557+5)/38 ≈ -0.489496.

Находим тангенс полного угла:

tgx=(2tg (x/2))/(1-tg² (x/2)) = (2*(5+√557))/38)/(1-((5+√557)/38)² ) =                                                                          = (380+76√557)/(862-10√557) = 3,472354.