Помогите сделать полное исследование функции [tex]y=x^{3} +12x^{2}+45x+50[/tex]

1. Определить область существования функции
2. Исследовать функцию на четность не четность
3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат
4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба
7. Построить график функции

Дана функция y=x³ +12x²+45x+50.

1. Определить область определения функции:

ограничений нет, вся числовая ось: D(f) = R.

2. Исследовать функцию на четность не четность:

f(-x) =  (-x)³ + 12(-x)² + 45(-x) + 50 = -x³ + 12x²- 45x + 50 ≠ f(x),

f(-x) =  -(x³ - 12x²+ 45x - 50) ≠ f(x). Значит, функция общего вида.

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат:

- с осью Оу при х = 0.  у = 50.

- с осью Ох при у = 0.

Надо решить уравнение  x³ + 12x²+ 45x + 50 = 0.

Находим корни этого уравнения среди множителей свободного члена.

50 = +-1*+-2*+-5*+-5.  

При подстановке определяем: х = -2 и х = -5 (2 раза).

x³ + 12x²+ 45x + 50 = (х + 2)*(х + 5)*(х + 5) = 0. х = -2 и х = -5.

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой:

точек разрыва и асимптот функция не имеет.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.  

Производная равна 3x²+ 24x + 45 = 3(x²+ 8x + 15).

Приравниваем её нулю (множитель в скобках):

x²+ 8x + 15 = 0.

Д = 64 - 4*1*15 = 4. х = (-8 +- 2)/2 = -3 и -5.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =     -6        -5        -4         -3         -1

y' =     9         0         -3         0        24.

Переход с + на -  это максимум (х = -5, у = 0), с - на +  это минимум(х = -3, у = -4).   На промежутке (-∞; -5) и (-3; +∞) функция возрастает, на промежутке (-5; -3) функция убывает.

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба

: y'' = (3x²+ 24x + 45)' = 6x + 24 = 6(x + 4) = 0.

Точка перегиба х = -4, у = -2.

Находим знаки второй производной на полученных промежутках.

x = -5 -4 -3

y'' = -6 0 6.

Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:  

• Выпуклая на промежутке: (-∞; -4).

• Вогнутая на промежутке: (-4; +∞).

7. Построить график функции.

Таблица точек:

x y

-7.0 -20

-6.5 -10.1

-6.0 -4

-5.5 -0.9

-5.0 0

-4.5 -0.6

-4.0 -2

-3.5 -3.4

-3.0 -4

-2.5 -3.1

-2.0 0

-1.5 6.1

-1.0 16

График - в приложении.