В прямоугольный треугольник с катетами, равными 2 см и
4 см, впишите прямоугольник наибольшей площади со сторонами,
параллельными катетам треугольника.

Не интуитивно а строго

парабола всегда симметрично относительно оси у, значит вершина ее всегда или самая максимальная точка по у или минимальная как здесь

и значит касательная, параллельная оси ох всегда пройдет через ее вершину

через углы думаете надо?

Пожалуйста, опишите действия после слов "Это экстремум функции" более подробно. Заранее благодарю.

Надо определить функцию зависимости площади заданного прямоугольника от величины его сторон на катетах.

Пусть х - сторона на катете 2, а у - сторона на катете 4.

Из подобия треугольников с остатками сторон на катетах получаем:

у/(2 - х) = (4 - у)/х.

ху = (2 - х)(4 - у) = 8 - 4х - 2у + ху.

8 - 4х - 2у = 0.

Отсюда находим зависимость у от х:   у = 4 - 2х.

Получаем формулу площади искомого прямоугольника:

S = xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x².

Производная S' = 4 - 4x = 0. Это экстремум функции. х = 4/4 = 1.

Определяем знаки производной левее и правее точки х = 1.

х =      0,5       1        1,5

y' =      2         0         -2.     Как видим, в точке х = 1 максимум.

у = 4 - 2*1 = 4 - 2 = 2.

Ответ: вписанный прямоугольник имеет стороны 1 и 2.