Исследовать функцию с помощью второй производной и построить график функции: у=х^4-2х^3+3

ДАНО:  y(x) = x⁴ - 2x³+3

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Нули функции:нет.

6. Интервалы знакопостоянства.

Положительная -Y(x)>0 X∈(-∞;+∞)  - во всём интервале определения.

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =  3.  

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) -  ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  4*x³ - 6*x² = 4*x²*(x- 1.5) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₁ = 0, X₂= 0,  Х₃= 1.5

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Минимум - Ymin(0) = 3.  Максимум - Ymax(0) = 3. Минимум - Ymin(X₃ = 1,5) = 1,3125.

11. Интервалы монотонности.  

Убывает - Х∈(-∞;0]∪[0;1.5], возрастает - Х∈[1.5;+∞).

12. Вторая производная - Y"(x) = 12*x² -12*x = 12*x*(x - 1) = 0

Корень производной - точки перегиба - Х=0, Х = 1.

13. Поведение.

Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞; 0]∪[1;+∞).

Выпуклая “горка» Х∈[0; 1]

14. График в приложении.