Математическая Индукция
Доказать, что при любом [tex]k \geq 0[/tex] при котором 5 | ([tex]3^{4k}+4[/tex])

5 делит утверждение [tex]5 |(3^{4k}+4)[/tex]
( | ) - знак обозначающий деление

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(3^(4k)+4)  делится на 5 (1)

1) при к=0

3⁰+4=1+4=5 делится на 5

при k=1

3⁴+1=81+4=85 делится на 5   ⇒ (1) верно для k=1

2) предположим что утверждение (1) верно для к=n

(3^(4n)+4) делится на 5

признак делимости на 5 - если число оканчивается на 5 или 0 то оно делится на 5

так как по предположению  (3^(4k)+4) делится на 5 то оно оканчивается на 0 или 5     (2)

⇒  3^(4k) оканчивается на 6 или 1  (3)  

так как к нему прибавляется 4 и сумма  должна быть 0 или 5

3) при к=n+1

3^(4k)+4=3^(4n+1)+4=(3^(4n))*3⁴+4=(3^(4n))*81+4 так как у числа 81 последняя цифра 1 то  (3^(4n))*81 оканчивается на ту же цифру что и  (3^(4n)) то есть на 6 или 1        (см. (3))

а значит (3^(4n))*81 +4 оканчивается на 0 или 5 ⇒  (3^(4n))*81 +4 делится на 5

3) доказано что (1) верно при k=0, k=1 и из предположения верности утверждения (1) для k=n следует верность утверждения (1) для k=n+1 ⇒ по принципу математической индукции (1) верно для всех к∈N и к=0

-------------------------------------------------

пока писал на ум пришел более легкий вариант

3^4=81 заканчивается на 1 значит 3^4+4 заканчивается на 5 и делится на 5

3^4k=(3^4)^k тоже заканчивается на 1 так как число заканчивающееся на 1 в любой степени будет заканчиваться на 1  а значит (3^4)^k+4 заканчивается на 5 и делится на 5 . правда в этом варианте нет мат. индукции