СрОчНо. Матан. Исследование и построение графиков функций с помощью производной

1. Область определения функции - ограничений нет, х ∈ Z.

2. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0,  у = -5.

С осью Ох при у = 0. Надо решить такое уравнение:  -х³ + 3х - 5 = 0.

Для вычисления корней кубического уравнения используются формулы Кардано.

Для начала уравнение приводится к виду:  

y³ + py + q = 0. Ответ: 1 точка х = -2,279.

4. Производная равна: y' = -3х +3

5. 6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Приравниваем производную нулю: -3х² + 3 = -3(х² - 1) = 0.

Отсюда имеем 2 критические точки:  х = 1 и х = -1.

Находим знаки производной на полученных промежутках:

х =  -2     -1     0      1      2

y' = -9 0 3 0 -9.

Минимум в точке х = -1, у = -7 (переход с - на +),

максимум в точке х = 1, у = -3 (переход с + на -).

Функция возрастает при y' > 0, это промежуток (-1; 1).

Убывает (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

7. Построение графика.

Таблица точек:

x y

-3.0 13

-2.5 3.1

-2.0 -3

-1.5 -6.1

-1.0 -7

-0.5 -6.4

0 -5

0.5 -3.6

1.0 -3

1.5 -3.9

2.0 -7

2.5 -13.1

3.0 -23.