доказать, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6​

В последнем предложении Вы имели в виду, что если число кратно и двум, и трем, то оно непременно кратно шести, так ведь? И, видимо, опечатались. Да?

Да, конечно. Кратна 6, поскольку кратна и трем, и двум.

Пусть а - число.а^3 - а = а•(а^2 - 1) = а•(а + 1)•(а - 1) == (а-1)•а•(а+1)После преобразования исходного выражения мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел.Любое из трех последовательных натуральных чисел кратно 3, то есть делится на 3. Посудите сами:1, 2, 34, 5, 67, 8, 9...111, 112, 113 и т.д.Среди трех последовательных натуральных чисел, по меньшей мере одно четное, то есть делится на 2.Посудите сами:5, 6, 7или 92, 93, 94Следовательно, разность между кубом любого числа и самим числом кратна 3, то есть делится на 6.