Исследовать функцию и построить её график
y=x^3/(x^2-x+1)
План исследования:
1)Найти область определения ф-ции, интервалы непрерывности и точки разрыва ф-ции
2)Чётность и нечётность
3)Найти точки пересечения с осями координат
4)Определить интервалы возрастания и убывания, экстремумы ф-ции
5)Найти интервалы вогнутости и выпуклости, точки перегиба
6) Определить ассимптоты
7)Построить график

Дана функция y=x^3/(x^2-x+1).  

План исследования:  

1)Найти область определения ф-ции, интервалы непрерывности и точки разрыва ф-ции .

Исследуем знаменатель на возможность равенства нулю.

Выражение: x^2-x+1=0.

Ищем дискриминант: D=(-1)^2-4*1*1=1-4=-3;  

Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.

Значит, функция не имеет ограничений. х ∈ Z.

2)Чётность и нечётность:  f(-x) = -x^3/(x^2+x+1) ≠ f(x) ≠ -(f(x).

Функция общего вида.

3)Найти точки пересечения с осями координат.

- с осью Оу при х = 0,  у = 0.  

- с осью Ох при у = 0.При этом надо числитель приравнять нулю.

 Получаем х = 0.

4)Определить интервалы возрастания и убывания, экстремумы ф-ции .

Производная функции равна: y' = (x²(x² - 2x + 3))/(x²- x + 1)².

Приравняем нулю числитель: x²(x² - 2x + 3) = 0.

Один корень получаем: х = 0.

Далее приравниваем нулю второй множитель. x² - 2x + 3 = 0.

Д = 4 - 4*1*3 = -8. Корней нет. Одна критическая точка х = 0.

Для определения характера этой точки определяем знаки производной левее и правее точки х = 0.

x =      -1          0              1

y' =    0,667 0          2 .

Как видим, эта точка не является экстремумом функции.

На всей области определения функция возрастает (производная везде положительна).

5)Найти интервалы вогнутости и выпуклости, точки перегиба.

 Вторая производная (её нахождение сложное и громоздкое) имеет нули в двух точках: х = 0 и х = 1. Это точки перегиба.

График вогнут на промежутке (0; 1).

График выпуклый на промежутках (-∞; 0) и (1; +∞).

6) Определить асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬(  x→±∞)⁡〖(kx+b-f(x)).〗  

Находим коэффициент k:    k=lim(x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗

k=  lim(x→∞)⁡〖x³/((x²-x+1)* x)=x²/(x²-x+1)=(x²/x² )/((x²/x²) - (x/x²) + (1/x²) =1/(1+0+0)=1.〗  

Коэффициент b: b=〖lim(x→±∞) (〗⁡〖f(x)-kx).〗

Аналогично коэффициенту к находим b = 1.

Уравнение наклонной асимптоты у = х + 1.

7)Построить график  по точкам:

x y

-3.0 -2.08

-2.5 -1.6

-2.0 -1.14

-1.5 -0.71

-1.0 -0.33

-0.5 -0.07

0 0

0.5 0.17

1.0 1

1.5 1.93

2.0 2.67

2.5 3.29

3.0 3.86