исследовать функцию и построить график у=1/3х-х^2-3х+9

Дано:  y(x) = - x² - 3x + 9 + 1/3*х⁻¹

Исследование.

1. Область определения: Член 1/(3х) - деление на 0

х ≠ 0  D(y)= X∈(-∞;0)∪(0ж+∞).

2. Вертикальная асимптота.  

Разрыв II-го рода.   X=0 - вертикальная асимптота.

3. Наклонная асимптота (горизонтальная):

k = lim(+∞)Y(x)/x = ∞  - асимптот - нет.  

4. Пересечение с осями координат.

Пересечение с осью ОХ - нули функции,

Погрешность расчёта будет незначительной если пренебречь четвёртым членом разложения функции. Тогда получим квадратное уравнение:

- x² - 3x +9 = 0,  D = 45, √45 = 3√5 и два корня: х ≈ - 4,9,  х ≈ 1,9

При полном решении получаем три  нуля функции

x₁ = -4,8438, x₂ = -0.036596 и x₃ = 1,8804 - (без расчёта).

Пересечения с осью ОУ  - нет.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;х₁]∪[x₂;0)∪[x₃;+∞).

Положительна: Y>0 - X∈(x₁;x₂]∪(0;x₃] .    

6. Проверка на чётность.  Функция общего вида.

7. Поиск экстремумов по первой производной.        

y'(x) = - 1/(3*x²) - 2*x - 3 =  = -6*x³ -9*x² - 1  = 0.    

Точка экстремума : x₄ ≈ - 1,5678  

8. Локальные экстремумы.

Максимум: y(x₄) ≈ 11,033.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;x₄].  

Убывает: X∈[x₄;0)∪(0;+∞).  

10. Поиск перегибов по второй производной.

y"(x) = (-6*x³+2)/(3*x³) =0

Корень уравнения: x₅ = (3²/³)/3  ≈ 2.08/3 =0.7

11. Поведение.

Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;0) ∪[x₅;+∞)

Вогнутая - "ложка"- X∈(0;x₅].

12. Область значений - E(y):  y∈(-∞;+∞).      

13. График функции на рисунке в приложении.    

Дополнительно описание:

Смещенная отрицательная парабола с разрывов II-го рода при Х = 0. График в более крупном масштабе на рисунке в приложении.