Точки EE и KK — середины сторон ADAD и DCDC параллелограмма ABCDABCD соответственно. Из его вершины BB на отрезок EKEK опустили перпендикуляр BHBH. На стороне BCBC выбрана точка FF такая, что углы FHKFHK и KEDKED равны. Найдите отношение BF:FCBF:FC.

Ответ:

3:1

Пошаговое объяснение:

продливаем ЕК до пересечения с ВС . ЕК пересекает ВС в точке М

∠KED=∠CMK, как внутренние разн. при ЕD║СМ, где CD секущая.

так как угол ∠KED = ∠FHK из условия, следовательно ∠FHK = ∠СМК, и следовательно ΔHFM -равнобедренный.  

так же ∠FDK=∠MCK и ∠EKD=∠CKM (как вертикальные углы)

сторона DK=KC по условию

⇒ΔEDK=ΔKCM ( по двум углам и стороне между ними)⇒СМ=ED

ED=АЕ; BC=AD=2AE=2ED

BM=3ED=3CM

опустим высоту FN в ΔHFM, высота является и медианой, так как треугольник равнобедренный HN=NM

так как FN⊥EM и BH⊥EM ⇒ BH║FN

по теореме фалеса BF=FM

BF=FM=3CM

FM=BF=BM/2=3CM/2

FC=FM-CM=3CM/2-2CM/2=CM/2

BF/FC= (3CM/2):(CM/2)=3:1