(9^10-51) доказать что кратно 83

Доказать, что число (9¹⁰ - 51) кратно 83.

1) Сделаем преобразования с числом (9¹⁰).  

9¹⁰  = (9²)⁵ = 81⁵ = (83-2)⁵

При возведении двучлена (83-2) в пятую степень получится шесть слагаемых, из которых первые пять слагаемых содержат в качестве множителя число 83, а последнее слагаемое  равно (-2)⁵ = -32.

(83-2)⁵ = 83k - 32

Таким образом, число 9¹⁰ примет вид:

9¹⁰ = 83k - 32

2) Теперь подставим 9¹⁰ = 83k - 32 в данное число (9¹⁰-51):

9¹⁰ - 51 = 83k - 32 - 51 = 83k-83=83*(k-1)

Есть множитель, который кратен 83, значит, и всё число кратно 83.

Доказано!

Пояснение .

Возводить двучлен (83-2) в пятую степень не обязательно, но если есть желание вычислить (83-2)⁵, то можно воспользоваться формулой:

(a-b)⁵ = a⁵- 5a⁴b + 10a³b² - 10a²b³ + 5ab⁴ - b⁵

(83-2)⁵ =  83⁵ - 5*83⁴*2 + 10*83³*2²-10*83²*2³+5*83*2⁴-2⁵ =

= 83*(83⁴-10*83³+40*83²-80*83+80) - 2⁵

Значение выражения в скобках обозначим  через k и получим вид:

83*k - 2⁵ =  83k - 32