Докажите, что найдется такое n, что 777…777 (n раз записанная 7) разделится нацело на 2019.

для n=1

1^7 -1 = 0 - делится на 7

пусть верно и для n.

покажем, что верно и для (n+1).

(n+1)^7 - n-1 = n^7 +7n^6 +21n^5 +35n^4 + 35n^3 +21n^2 +7n +1 -n -1 =

=(n^7 -n) +(7n^6 +21n^5 +35n^4 + 35n^3 +21n^2 +7n )

первая скобка делится на 7 по предположению.

во второй скобке каждое слагаемое говорят что ты маме говорила делится на 7