1) Исследовать функцию на непрерывность
2)Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
(на листке если можно)

Дано: y = (x²-6x+4)/(3x-2),

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения: D(y)= X≠ 2/3 , X∈(-∞;2/3)∪(2/3;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = 1. Вертикальных асимптота  - Х = 2/3.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = 1/3

b = -16/9 и

y(x) = x -16/9 - наклонная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОУ.  

y(0) = 4 : (-2) = -2

Пересечение с осью ОХ - решаем квадратное уравнение в числителе.

х1 =  5,236 и х2 = 0,7639,   D = 20 и √20 = 2√5

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;2/3)∪(0.76;5.2).

Положительна: Y>0 - X∈(5.2;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ,  

Y(-x)= (x^2+6*x+4)/(-3*x+2).    

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) =(-3*x² +18*x +2*(x-3)(3x-2)-12 /(3x-2)² = 0.  

x*(3*x-4) =0

x1 = 0,  x2 = 4/3 - точки экстремумов.  

8. Локальный максимум: y(0) = -2, минимум: y(4/3) = -1.11.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;0)∪(4/3;+∞).  Убывает: X∈(0;2/3)∪(3/2;4/3).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 8/(3x-2)³ = 0  

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(2/3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;2/3);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.