в урне лежат 12 белых и 8 зелёных шаров. Достают 5 шаров. Какова вероятность, что из пяти ровно 3 белые?

Ответ:

ОТВЕТ: 1) 28/62 985≈0,0445%; 2) 283/25 194 ≈1,123%

Пошаговое объяснение:

Найдём вероятности следующих событий: P_i={P|из урны вынуто i красных шаров) ; i∈{0;1;2;3}

Общее количество вариантов вынуть 8 шаров из 20 равно числу сочетаний из 20 элементов по 8:

20!/(8!*12!) = (13*14*15*16*17*18*19*20)/(1*2*3*4*5*6*7*8) = 2*3*5*13*17*19 (=125 970)

1) i=0. Все вынутые шары — белые.

Вынуто 8 белых шаров из 12 ⇒ количество вариантов 12!/(8!*4!) = (9*10*11*12)/(2*12) = 9*5*11 = 495

Вероятность этого события P_0 = (3*5*3*11)/(2*3*5*13*17*19) = 33/(2*13*17*19) (≈0,393%)

2) i=1. Вынули 2 белых шара из 12, вынули 1 красный шар из 8.

Количество вариантов: (12!/(2!*10!))*8 = 11*12/2*8 = 528

Вероятность P_1 = 528/(2*3*5*13*17*19) = 88/(5*13*17*19) (≈0,419%)

3) i=2. Вынули 1 белый шар из 12 и 2 красных шара из 8.

Количество вариантов:

12*(8!/(2!*6!)) = 12*7*8/2 = 336

Вероятность P_2 = (2*3*7*8)/(2*3*5*13*17*19) = 56/(5*13*17*19) (≈0,267%)

4) i=3. Все три вынутых шара — красные. Количество вариантов равно 8!/(3!*5!) = (6*7*8)/6 = 56

Вероятность равна P_3 = 56/(2*3*5*13*17*19) = 28/(3*5*13*17*19) = 28/62 985 ≈0,0445%

Вероятность того, что вынуто не более 3 шаров, равна

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = (495 + 528 + 336 + 56))/(2*3*5*13*17*19) = 1415/(2*3*5*13*17*19) = (5*283)/(2*3*5*13*17*19) = 283/(2*3*13*17*19) = 283/25 194 ≈1,123%