взяли 6 листов бумаги и часть из них разрезали на 7 кусков каждый. Некоторые из этих кусков снова разделили на 7 кусков. И так сделали несколько раз. Может ли в результате получиться 67 кусков?

Да, может, получится даже больше . Так как изначально уже получилось 42 кусочка (6×7), а после ещё например 20 поделили на 7 итого уже 140+22=162