Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [tex]\sqrt[]{x^4+x^2} =x^2-a[/tex] имеет ровно два различных корня.

Заметим, что, если x₀(a) - решение данного уравнения, то -x₀(a) также является решением уравнения. Поэтому при всех a таких, что x≠0, уравнение имеет не менее двух решений. Отсюда легко вывести, что a≠0;

Сделаем замену: m=x²; Так как m+m²≥0, то исходное уравнение (относительно m) равносильно следующему:

; Мы видим, что уравнение имеет единственное решение относительно m для данного a (при всех a, при которых выражение имеет смысл); Значит уравнение относительно x имеет ровно два решения. Осталось рассмотреть случай:

1+2a≠0 ⇔ a≠-0.5;

ОТВЕТ: