В треугольной пирамиде SABC две равные боковые грани ASB
и BSC перпендикулярны плоскости основания

Плоскости граней ASB и BSC перпендикулярны плоскости основания ABC и пересекаются по прямой SB . Поэтому прямая SB перпендикулярна плоскости основания ABC , т.е. SB – высота пирамиды SABC . Из равенства треугольников ASB и CSB следует, что AB = BC . Поэтому треугольник ABC равнобедренный. Пусть K – середина AC . Тогда BK – биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC . Поэтому

BK = BC cos KBC = BC cos =

= 2r sin BAC· cos = 2r sin (90o - ) cos =

= 2r cos · cos = 2rcos2 .

Так как BK – ортогональная проекция наклонной SK на плоскость основания ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах SK AC . Значит, BKS – линейный угол двугранного угла между плоскостью грани ASC и плоскостью основания ABC . По условию задачи BKS = β . Из прямоугольного треугольника BKS находим, что

SB = BK tg BKS = 2r cos2 tg β.

Центр O сферы, описанной около пирамиды SABC , лежит на перпендикуляре к плоскости основания ABC , проходящем через центр Q окружности, описанной около треугольника ABC , а также в плоскости, перпендикулярной ребру SB , проходящей через середину M отрезка SB . Пусть R – радиус этой сферы. Прямые OQ и SB перпендикулярны одной и той же плоскости ABC , значит, QD || SB . В прямоугольнике OQBM известно, что

OQ = MB = SB = r cos2 tg β, QB = r.

Следовательно,

R = OB = = = r.