1. Постройте график функции y= -x^3-3x^2+4 используя производную.
2. При каких значениях параметра a уравнение -x^3-3x^2+4=a имеет два корня?

Надо дополнить ответ ещё одним решением: а = 4. Свободный член функции изменяет точку пересечения графика с осью ординат. Если опустить график на 4 единицы вниз - тоже получим 2 точки пересечения оси Ох (это 2 корня).

F(x)=-x³-3x²+4

f(x)=-3x²-6x

a может вернуть два корня только проходя в точках экстремум.

-3x²-6x=0

-3x(x+2)=0

x=0

x=-2

F(0)=4

F(-2)=0

a=-2 и 4 вернёт два корня.

1) Дана функция y= -x^3-3x^2+4.

Её производная равна y' = -3x² - 6x = -3x(x + 2).

Приравняем её нулю: -3x(x + 2) = 0. Находим 2 критические точки:

х = 0 и х = -2.

Определяем их свойства по изменению знака производной.

х =   -3     -2     -1     0      1

y' =  -9      0     3      0     -9 .

В точке х = -2 минимум функции, у = 0.

В точке х = 0 максимум, у = 4.

На промежутках (-∞; -2) и (0; +∞) функция убывает

на промежутке (-2; 0) возрастает.

Вторая производная равна y'' = -6x - 6 = -6(x + 1).

Отсюда определяем точку перегиба х = -1.

х = -2     -1         0

y'' = 6     0        -6.

График выпуклый:  (-1; +∞), вогнутый (-∞; -1).

Пересечение с осями решается алгебраически:

- с осью Оу при х = 0 у = 4.

- с осью Ох при у = 0 надо решить кубическое уравнение  

-x^3-3x^2+4 = 0. Один корень виден: х = 1.

Делим -x³ - 3x² + 4 | х - 1

-x³ + x² -x² - 4x - 4

-4x² + 4

-4x² + 4x  

-4x + 4

-4x + 4.

Результат -(x² + 4x + 4) = -(х + 2)².  

Получили 2 точки пересечения: х = 1 и х = -2.

График приведен в приложении.

2) Возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Δ = -4b³d + b²c² - 4ac³ + 18abcd - 27a²d².

Итак, возможны только три случая:

Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.

Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают.

Рассмотрим уравнение -x^3-3x^2+4=0.

Его коэффициенты   a b c d

                                      -1 -3 0 4

Определяем дискриминант:

-4b^3*d b^2*c^2 -4a*c^3 18abcd -27*a^2*d^2 Дискрим

инант

432              0                 0             0             -432           0.

Как видим, при а = 0 уравнение имеет 2 корня.

Это видно и по графику.