Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • В полярной системе координат построить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Найти площадь фигуры вне окружности, произвести все расчеты и написать ответ.

    question img

Ответы 1

  • ДАНО: R=4\sqrt{1+sin^22\alpha } - функция, r = 4 - окружность,

    НАЙТИ: Площадь фигуры вне окружности.²

    Пошаговое объяснение - решение силой Разума.

    Мысль 1. Задача в полярных координатах. Построение графика без использования дополнительных средств весьма затратно.

    Рисунок с графиком функции при расчёте через 10° в приложении.

    Мысль 2. Площадь фигуры - разность площадей функции и окружности с r= 4.

    Мысль 3. Площадь окружности по формуле: S1 = π*r² = 16π - (запоминаем - потом надо вычесть).

    Мысль 4. Площадь ограниченная функцией по формуле:

    S=\frac{1}{2}\int\limits^b_a {R^2} \, d\alpha

    Пределы интегрирования от а = 0, до  b = 2π - запоминаем.

    Мысль 5. Вычисляем значение R(α)²

    R(α)² = 16*(1 + sin²2α).

    Коэффициент 16 выносим из под интеграла и приступаем собственно к интегрированию.

    S2=\frac{16}{2}\int\limits^b_a {(1-sin^22\alpha)}\, d\alpha

    Делаем подстановку - sin²x = (1-cos2x)/2 и получаем новый интеграл.

    \int\limits^b_a {sin^22\alpha } \, d\alpha=\frac{1}{2}\int\limits^b_a {(1-cos4\alpha) } \, d\alpha=\frac{\alpha }{2}-\frac{sin4\alpha }{8}

    В результате получили функцию площади .

    S2=8\int\limits^b_a {(\frac{3}{2}\alpha-\frac{sin4\alpha }{8}) } \, dx

    Вычисляем на границах интегрирования.

    S2(2π) = 8*3π = 24π и S2(0) = 0 и

    S2 - 24*π - площадь функции.

    И переходим к ответу - вычитаем площадь центрального круга.

    S = S2 - S1 =  24*π - 16*π = 8π (ед.²) - площадь фигуры - ответ.

    answer img

    • Автор:

      axelevans
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years