Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
у=х^3-6x^2+4

Найдем производную данной функции, у штрих равен

3х²-12х+0

Найдем теперь производную от первой производной, т.е. вторую производную,  она равна6х-12

приравняем к нулю вторую производную 6х-12=0

х=2

Точка 2 разбивает числовую ось на два интервала, при переходе через которую вторая производная меняет знак с минуса на плюс, значит, х=2 точка перегиба, и при х∈(-∞;2) функции выпукла вверх, а при х∈(2;+∞) график функции выпуклый вниз

Пошаговое объяснение:

ДАНО:Y(x) = x³ -6*x² +4.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Применим тригонометрическую формулу Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x+0,77)*(x-0,88)*(x-5,88)

Нули функции: Х₁ =-0,77, Х₂ =0,88,  Х₃ =5,88

(без комментариев, без расчёта).

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-0,77]U[0,88;5,88]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-0,77;0,88]U[5,88;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   4

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x). Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) = 3*x² -12*x = 3*x*(x-4) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =0    Х₅=4

Где производная отрицательна  (между корнями), там функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  0) =4.   Минимум - Ymin(X₅ =  4) =-28

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;0;]U[4;+∞) , убывает - Х∈[0;4]  (между корнями).

ВАЖНО! Функция непрерывная - скобки квадратные.

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -12 = 6*(х-2) = 0

Корень второй производной - точка перегиба Х₆=2

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 2]  - производная Y"(x)<0 - отрицательная)

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 2; +∞).

14. График в приложении.  Дополнительно схема/шаблон для анализа функции.