Найдите все а, при каждом из которых уравнение.. 24 балла

Найдите все а, при каждом из которых уравнение..
24 балла
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  sierrahatfield
- 5 лет назад

Ответы 1

Ответ:
$a=0,\quad x\in\{-1,0,1\}\\a=2,\quad x\in\left\{-\dfrac1{\sqrt3},0,\dfrac1{\sqrt3}ight\}$
Пошаговое объяснение:
Заметим, что если x - корень уравнения, то (-x) - тоже корень. Чтобы корней получилось нечетное число, один из корней должен быть нулем. Подставляем x = 0:
$a^3-a^2-2a=0\\(a+1)a(a-2)=0\\a\in\{-1,0,2\}$
Проверяем, удовлетворяют ли условию найденные a. Для этого достаточно проверить, что при подстановке найденных a уравнение имеет ровно один положительный корень.
1) a = -1:
$x^4-x^2+\dfrac x{3\sqrt3}=0\\x^3-x=-\dfrac1{3\sqrt3}$
Рассмотрим функцию $f(x)=x^3-x$ . Её производная $f'(x)=3x^2-1$ принимает неотрицательные значения при $x\geqslant 1/\sqrt3$ и неположительные значения при $0<x\leqslant 1/\sqrt3$ . Значит, график функции f(x) при x > 0 выглядит примерно так, как изображено на рисунке: при x, близких к 0, значение близко к 0, затем убывание, в точке $x=1/\sqrt3$ принимается минимальное значение $-2/3\sqrt3$ , потом неограниченное возрастание.
$0<-\dfrac1{3\sqrt3}<-\dfrac2{3\sqrt3}$
Значит, у уравнения $f(x)=-1/3\sqrt3$ есть два положительных корня, не подходит.
2) a = 0: аналогично, можно свести к уравнению f(x) = 0, у него один положительный корень x = 1. Подходит!
3) a = 2: аналогично, сводится к уравнению $f(x)=-2/3\sqrt3$ . У этого уравнения тоже только один положительный корень $x=1/\sqrt3$ .
- Автор:
  bosley
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ