Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому рівняння x^2+2ax+4a^2-5a+3=4sin y - 3 cos y має один розв’зок.

x² + 2ax + 4a²- 5a + 3 = 4siny - 3cosy;

Спростимо вираз 4siny - 3cosy за допомогою допоміжного кута α, скориставшись тотожністю asiny - bcosy = √(a² + b²)sin(y - α).

a = 4; b = 3; √(a² + b²) = √(16 + 9) = 5; (α = arcsin(b/√(a² + b²)) = arcsin(3/5) - в цій задачі шукати не обов'язково).

Отже, 4sin y - 3cosy = 5sin(y - α)

x² + 2ax + 4a²- 5a + 3 = 5sin(y - α)

Це рівняння матиме єдиний розв'язок тоді, коли найменше значення квадратичної функції співпаде з найбільшим значення тригонометричної функції, тобто з 5.

Звідси маємо рівняння

x² + 2ax + 4a²- 5a + 3 = 5;

x₀ = -b/2 =  -1 - абсциса вершини параболи.

(-1)² + 2a(-1) + 4a²- 5a + 3 = 5;

1 - 2a + 4a² - 5a - 2 = 0;

4a² - 7a - 1 = 0;

D = 49 + 16 = 65; √D = √65

a₁ = (7 - √65)/8; a₂ =  (7 + √65)/8

Відповідь: а = (7 + √65)/8.