Решить дифференциальное уравнение найти общее и частное решение
[tex]y''+5y'=4e^x[/tex]

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме решений однородного и частного уравнений.

Составим и решим характеристическое уравнение.

находим решение однородного уравнения

Т.к 4 не корень характеристического уравнения и его мнимая часть равна нулю, то частное решение будем искать в виде

Найдём первую и вторую производные, определи коэффициент A

Составим общее решение неоднородного уравнения

Решим характеристическое уравнение к²+5к=0, откуда к₁=0, к₂=-5

Общее решение однородного уо.о.=с₁+с₂е⁻⁵ˣ

частное решение неоднородного ищем в виде уч.н.= аеˣ

находим первую и вторую производные этой функции, получим

первая производная равна аеˣ, вторая производная равна аеˣ, подставляем эти данные в уравнение для определения коэффициента а.

аеˣ+5аеˣ=4еˣ, откуда а=4/6=2/3

общее решение неоднордного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е.

У=с₁+с₂е⁻⁵ˣ+2еˣ/3