[tex]logx_{|x-2|} (3-|x|)\leq 1[/tex]

[tex]logx_{|x-2|} (3-|x|)\leq 1[/tex]
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  chynamendez
- 5 лет назад

Ответы 1

$\log_{x|x-2|}(3-|x|)\leq 1$
Запишем условия определенности слагаемых входящих в неравенство:
$\left \{ {{x>0,\;x eq2} \atop {|x|<3}} ight.$ ; Перепишем неравенство в несколько другом виде: $\log_{x|x-2|}(3-|x|)-\log_{x|x-2|}x|x-2|\leq 0$ ;
Отойдем от решения этого неравенства и рассмотрим другое, обобщенное неравенство: $\log_{a}b-\log_{a}c\leq 0$ (*), где a, b, c - числа, для которых выражения имеют смысл.
Пусть a>1, тогда большим значениям b и c будут соответствовать большие значения логарифма. При таком условии, решить неравенство (*) все равно, что решить неравенство $b-c\leq 0$ (i); Если a<1, то все наоборот: большим значениям b, c будут соответствовать меньшие значения логарифмов. Это можно переписать в виде неравенства $c-b\leq 0$ (ii); То есть переход от неравенства (i) к (ii) осуществляется через переход числа a через 1. Можем записать с учетом a≠1: $(a-1)(b-c)\leq 0$ , а раз мы не знаем равно ли a единице или нет, то это условие можно "запихнуть" в знаменатель: $\frac{b-c}{a-1}\leq0$ - в левой части, что называется, знакотождественное выражение по отношению к $\log_{a}b-\log_{a}c$ . Почему можно перейти от логарифмического неравенства к рациональному, ведь они принимают разные значения в разных точках? А все потому, что нам важен лишь только знак выражения, который оказывается одинаковым, что у первого, что у второго выражений. Это метод называется методом рационализации.
Применим этот метод к нашему неравенству, а затем найдем пересечение множества его решений с вышеизложенными условиями.
$\frac{3-|x|-x|x-2|}{x|x-2|-1}\leq 0$ - здесь уже можно воспользоваться методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя: $3-|x|-x|x-2|=0 \Leftrightarrow 3=|x|+x|x-2|$ ; Сделаем замену: m=x-1;
$|m+1|+(m+1)|m-1|=3,\; ]m\geq 1 \Rightarrow m^{2}+m-3=0\Rightarrow m=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ ; Для -1≤m<1: $m+1-(m+1)(m-1)=3\Leftrightarrow motin \mathbb{R}$ ; Для m<-1: $-m-1-(m+1)(m-1)=3 \Leftrightarrow motin \mathbb{R}$ . Значит, $x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ ;
Для знаменателя: $x|x-2|=1\Rightarrow x^{2}(x-2)^{2}=1 \Leftrightarrow (x^{2}-2x-1)(x^{2}-2x+1)=0$ , нам не подходят отрицательные x, поэтому, с учетом этого, $x=1,\; x=1+\sqrt{2}$ ; После применения метода интервалов, получаем решение неравенства: $x\in (-\infty,\;1) \cup(1,\; \frac{1+\sqrt{13}}{2}]\cup (1+\sqrt{2},\;\infty)$ . Пересечение с условиями и, по совместительству, ответ: $x\in (0,\;1)\cup(1,\;2)\cup(2,\;\frac{1+\sqrt{13}}{2})\cup(1+\sqrt{2},\; 3)$
- Автор:
  harleybytm
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ