Помогите! 40 баллов! Решите неравенства 1.[tex]2^{x^{2} -6x+0,5}\leq (16\sqrt{2}

Помогите! 40 баллов!
Решите неравенства
1.[tex]2^{x^{2} -6x+0,5}\leq (16\sqrt{2} )^{-1}[/tex]
2.[tex]\frac{7}{9^{x}-2 } \geq \frac{2}{3^{x} -1}[/tex]
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  hunterf47f
- 5 лет назад

Ответы 1

$1) \ 2^{x^{2} - 6x + 0,5} \leqslant (16\sqrt{2} )^{-1}\\2^{x^{2} - 6x + 0,5} \leqslant (2^{4,5})^{-1}\\2^{x^{2} - 6x + 0,5} \leqslant 2^{-4,5}\\x^{2} - 6x + 0,5\leqslant -4,5\\x^{x} - 6x + 5 \leqslant 0\\x^{x} - 6x + 5 = 0\\x_{1} = 1; \ \ \ x_{2} = 5\\x \in [1; \ 5]$
Ответ: $x \in [1; \ 5]$
$2) \ \dfrac{7}{9^{x} - 2} \geqslant \dfrac{2}{3^{x} - 1}$
ОДЗ: $\left \{ {\bigg{9^{x} - 2 eq 0} \atop \bigg{3^{x} - 1 eq 0}} ight. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{9^{x} eq 2} \atop \bigg{3^{x} eq 1}} ight. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{x eq \log_{9}2} \atop \bigg{x eq 0 \ \ \ \ \ \ }} ight.$
$\dfrac{7}{3^{2x} - 2} \geqslant \dfrac{2}{3^{x} - 1}$
Замена: $3^{x} = t, \ t > 0$
$\dfrac{7}{t^{2} - 2} \geqslant \dfrac{2}{t - 1}\\\dfrac{7}{t^{2} - 2} - \dfrac{2}{t - 1} \geqslant 0\\$
$\dfrac{7(t-1) - 2(t^{2} - 2)}{(t^{2} - 2)(t-1)} \geqslant 0\\\\\\\dfrac{7t - 3 - 2t^{2}}{(t^{2} - 2)(t-1)} \geqslant 0$
ОДЗ: $\left \{ {\bigg{t^{2} - 2 eq 0} \atop \bigg{t - 1 eq 0 \ }} ight. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{t eq \pm \sqrt{2} } \atop \bigg{t eq 1 \ \ \ \ }} ight.$
$7t - 3 - 2t^{2} = 0\\2t^{2} - 7t + 3 = 0\\D = (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\\t_{1} = \dfrac{1}{2}\\\\t_{2} = 3\\$
По методу интервалов выясняем знаки неравенства и получаем:
$\left[\begin{array}{ccc}t < -\sqrt{2}\\\left \{ {\bigg{t \geqslant \dfrac{1}{2} } \atop \bigg{t < 1}} ight. \\\left \{ {\bigg{t > \sqrt{2}} \atop \bigg{t \leqslant 3}} ight.\end{array}ight$
Обратная замена:
$\left[\begin{array}{ccc}3^{x} < -\sqrt{2}\\\left \{ {\bigg{3^{x} \geqslant \dfrac{1}{2} } \atop \bigg{3^{x} < 1}} ight. \\\left \{ {\bigg{3^{x} > \sqrt{2}} \atop \bigg{3^{x} \leqslant 3}} ight.\end{array}ight \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x \in \O \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\left \{ {\bigg{x \geqslant \log_{3}\dfrac{1}{2} } \atop \bigg{x < 0 \ \ \ \ \ \ }} ight. \\\left \{ {\bigg{x > \log_{3}\sqrt{2}} \atop \bigg{x \leqslant 1 \ \ \ \ \ \ \ }} ight.\end{array}ight$
$\left[\begin{array}{ccc}x \in \O \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\x \in \bigg[\log_{3}\dfrac{1}{2}; \ 0 \bigg) \\x \in \(\log_{3}\sqrt{2}; \ 1] \ \ \end{array}ight$
Объединяем все три условия и получаем:
$x \in \bigg[\log_{3}\dfrac{1}{2}; \ 0 \bigg) \cup (\log_{3}\sqrt{2}; \ 1]$
Ответ: $x \in \bigg[\log_{3}\dfrac{1}{2}; \ 0 \bigg) \cup (\log_{3}\sqrt{2}; \ 1]$
- Автор:
  leah
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ